Математические методы решения
химических задач

Учеб. пособие для студ. учреждений высш. проф. образования
под ред. А.И.Козко
Университетский учебник. Сер. Высшая математика и ее приложения к химии
Председатель редакционного совета серии:
академик РАН В. А.Садовничий
М. : Издательский центр "Академия", 2013. - 368 с.
ISBN 978-5-7695-5996-9

Предисловие

      Данная книга, в которой изучаются дифференциальные уравнения (обыкновенные и уравнения с частными производными) и элементы комплексного анализа, - третья из серии "Высшая математика и ее приложения к химии".
      В серию входят также учебные пособия: 1) Гаврилов В. И., Макаров Ю.Н., Чирский В. Г. Математический анализ; 2) Михалев А. А., Сабитов И.Х. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
      Структура книги следующая: гл. 1 - 5 представляют собой стандартный курс математики для общего потока химического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова; гл. 6 - 9 предназначены для более глубокого усвоения предмета (в специальных группах). Особое внимание уделено подробному описанию ряда математических моделей, используемых в современных исследованиях; гл. 10 - 15 посвящены уравнениям математической физики и их приложениям к задачам в химии; гл. 16 - 22 содержат основы комплексного анализа (также обычно изучаемого в специальных группах).
      При написании книги авторам оказали большую помощь преподаватели и сотрудники химического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. Особенную благодарность авторы выражают заместителю декана факультета, лауреату премии Президента РФ в области образования профессору Н. Е. Кузьменко, заслуженному деятелю науки РФ профессору Н. В. Зыку, профессору В. В. Еремину.
      Часть I книги написана А. И. Козко, В. Г. Чирским, ч. II - Е. С. Соболевой, Г. М. Фатеевой, ч. III - А. В. Субботиным, приложение - С. В. Кравцевым, Н. Б. Малышевой.

Предисловие		3
Часть I. Дифференциальные уравнения
Глава 1. Уравнения первого порядка		4
1.1. Уравнения с разделяющимися переменными		7
1.2. Тримолекулярная реакция		8
1.3. Однородные уравнения		11
1.4. Линейные уравнения первого порядка.		12
1.4.1. Уравнения Бернулли и Риккати		13
1.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель		15
1.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной		19
1.7. Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка		21
1.7.1. Формулировка теоремы существования, единственности и продолжения решения		21
1.7.2. Методы понижения порядка уравнения		22
Глава 2. Теоремы существования и единственности		23
2.1. Интегральное уравнение		23
2.2. Метод последовательных приближений		24
2.3. Теорема существования и единственности		27
2.4. Радикальная полимеризация		32
Глава 3. Нормальные линейные системы и дифференциальные уравнения произвольного порядка		36
3.1. Линейная зависимость		36
3.2. Определитель Вронского		39
3.3. Фундаментальная система решений, фундаментальная матрица		44
3.4. Формула Лиувилля - Остроградского		45
3.5. Метод вариации постоянных		47
Глава 4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами		50
4.1. Линейное однородное дифференциальное уравнение		50
4.1.1. Случай простых корней характеристического уравнения		52
4.1.2. Случай кратных корней характеристического уравнения		53
4.2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Случай квазимногочлена		55
Глава 5. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами		60
5.1. Случай простых однократных корней характеристического уравнения		60
5.2. Общий случай (кратные корни характеристического уравнения)		63
5.3. Кинетика сложных реакций		65
5.3.1. Последовательные реакции		66
5.3.2. Кинетика параллельной реакции с обратимостью в одной стадии		69
Глава 6. Краевые задачи		73
3.1. Бумажные полоски и их аналоги		73
3.1.1. Индикаторные бумаги для погружения в жидкость		76
3.1.2. Концентрирование продуктов реакции		81
3.1.3. Приемы бумажной хроматографии		83
3.1.4. Измерение скорости реакций		85
3.1.5. Тест-титрование с бумагами		87
Глава 7. Устойчивость		90
7.1. Линейная система с постоянными коэффициентами		92
7.2. Классификация особых точек		94
7.3. Предельные циклы		98
7.4. Модель Лотки		104
7.5. Динамика популяций. Уравнения Вольтерра Лотки		109
7.6. Колебательные химические реакции. Реакция Белоусова - Жаботинского. Брюсселятор		111
Глава 8. Интегральные преобразования		118
8.1. Ряды Фурье и преобразование Фурье		118
8.2. Преобразование Лапласа		120
8.3. Решение дифференциальных уравнений		126
8.3.1. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа		126
8.3.2. Решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами		127
8.4. Снова о кинетических моделях сложных реакций		128
8.4.1. Последовательные реакции		129
8.4.2. Кинетика параллельной реакции с обратимостью в одной стадии		130
Глава 9. Уравнения в частных производных первого порядка		133
9.1. Случай двух переменных		133
Часть II Уравнения в частных производных
Глава 1 0. Простейшие задачи химии, приводящие к уравнениям в частных производных		136
10.1. Общие сведения		136
10.2. Вывод уравнения диффузии		139
10.3. Вывод уравнения, описывающего процесс сорбции газа		142
10.4. Классификация уравнений с частными производными		144
10.5. Приведение уравнения к каноническому виду в двумерном случае		147
10.6. Канонические виды уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов		150
Глава 11. Корректные постановки задач		155
11.1. Понятие корректности и общая задача Коши в двумерном случае		155
11.2. Формула Даламбера. Корректность задачи Коши для одномерного волнового уравнения		158
11.3. Задача Гурса для волнового уравнения		161
11.4. Краевые задачи для волнового уравнения		162
11.5. Интеграл энергии. Единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения		163
11.6. Корректные краевые задачи для уравнения диффузии		167
11.7. Задача Коши для уравнения диффузии		170
11.8. Некорректность задачи Коши для уравнения Лапласа		171
11.9. Краевые задачи для уравнения Лапласа		172
Глава 12. Ортогональные системы и ряды Фурье		177
12.1. Некоторые сведения из теории рядов Фурье		177
12.2. Дальнейшие свойства функций Бесселя нулевого и первого порядков		184
12.3. Сферические функции		187
12.4. Задача Штурма - Лиувилля		191
Глава 13. Метод Фурье решения краевых задач		196
13.1. Сущность метода Фурье на примере краевой задачи для уравнения диффузии		196
13.2. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности		198
13.3. Краевая задача для волнового уравнения		200
13.4. Задача Дирихле в прямоугольнике		202
13.5. Краевая задача с условием Неймана		204
13.6. Метод Фурье для неоднородного уравнения		206
13.7. Задача Дирихле в круге. Интеграл Пуассона		209
13.8. Примеры применения метода Фурье		212
13.9. Преобразование Фурье и его свойства		216
13.10. Решение задачи Коши методом преобразования Фурье		222
Глава 14. Задачи, требующие применения специальных функций		225
14.1. Стационарная диффузия		225
14.2. Решение задачи Дирихле для шара		229
Глава 15. Примеры уравнений с частными производными в естественно-научных задачах		234
15.1. Расчет потенциала ионной атмосферы в теории Дебая - Хюккеля		234
15.2. Уравнение Шрёдингера. Одномерная задача для свободной частицы		238
15.3. Гармонический осциллятор		242
15.4. Замечание об общем случае одномерного движения		244
15.5. Водородоподобные атомы		247
15.5.1. Дополнение I		254
15.5.2. Дополнение II		254
Часть III Введение в комплексный анализ
Глава 16. Предварительные сведения о комплексных числа		256
16.1. Определения и обозначения		256
16.2. Комплексная плоскость и сложение комплексных чисел		257
16.3. Умножение и тригонометрическая форма комплексных чисел		258
16.4. Извлечение корней натуральной степени		261
16.5. Предел последовательности комплексных чисел		263
16.6. Расширенная комплексная плоскость		265
Глава 17. Топология плоскости С		268
17.1. Открытые, замкнутые и связные множества		268
17.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного		270
17.3. Глобальные свойства непрерывных функций комплексного переменного		270
17.4. Основные элементарные функции		272
17.4.1. Степенная функция		272
17.4.2. Корень натуральной степени		272
17.4.3. Экспоненциальная функция		272
17.4.4. Тригонометрические функции		273
17.4.5. Гиперболические функции		273
] 7.4.6. Логарифмическая функция		273
17.4.7. Общая степенная функция		274
Глава 1 8. Дифференциальное исчисление функций комплексного переменного		276
18.1. Дифференцируемость и производная функции комплексного переменного		276
18.2. Условия Коши Римана дифференцируемости в терминах действительной и мнимой частей		278
18.3. Геометрический смысл дифференцируемости функции		281
Глава 1 9. Интегральное исчисление функций комплексного переменног		285
19.1. Определенный интеграл		285
19.2. Интегральная теорема Коши		290
19.3. Интегральная теорема Коши для многосвязных областей		297
19.4. Интегральная формула Коши		299
19.5. Интегральная формула Коши для многосвязных областей		302
19.6. Интегральная формула Коши для производных		304
19.7. Теорема Лиувилля и основная теорема алгебры		306
Глава 2 0. Теория рядов		308
20.1. Ряды с комплексными числами		308
20.2. Степенные ряды		310
20.3. Свойства степенных рядов		313
20.4. Обобщенные степенные ряды		313
20.5. Интегрирование равномерно сходящихся рядов функций		314
20.6. Теорема Лорана		315
20.7. Следствия теоремы Лорана. Теорема Тейлора		320

Глава 21. Классификация изолированных особых точек и вычеты		322
21.1. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции		322
21.2. Теория вычетов		325

Глава 2 2. Приложения вычетов к вычислению определенных интегралов		330
22.1. Вычисление интегралов от тригонометрических функций по периоду		330
22.2. Вычисление интегралов от рациональных функций		333
22.3. Вычисление интегралов от иррациональных функций		338/td>
22.4. Вычисление интегралов от произведения рациональных и тригонометрических функций		342
Список литературы		347
Приложения. Линейная алгебра		349

Сервер создается при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
Не разрешается копирование материалов и размещение на других Web-сайтах
Вебдизайн: Copyright (C) И. Миняйлова и В. Миняйлов
Copyright (C) Химический факультет МГУ
Написать письмо редактору

Математические методы решения химических задач

Предисловие

Оглавление

Математические методы решения
химических задач