Операции с неравенствами

1. Если $ a > b$, то $ a + c > b + c$ для произвольного числа $ c$. То есть к левой и правой частям неравенства можно прибавлять произвольное число, при этом неравенство не изменится.

2. Если $ a > b$, и $ c>0$, то $ ac > bc$. Если $ a > b$, и $ c<0$, то $ ac<bc$. Нельзя умножать неравенства на множитель неопределенного знака; всякий раз при умножении неравенства на некоторое выражение нужно по крайней мере разбирать два случая - когда множитель больше нуля и когда он меньше.

3. Неравенства нельзя произвольным образом возводить в четную степень (к примеру, в квадрат). Простейший пример - неравенство $ -1<0$ очевидно, верно, а если его возвести в квадрат, то получим $ 1<0$. Последнее неравенство неверно. Правило выглядит так: если неравенство возводится в нечетную степень, то это - эквивалентное преобразование, не меняющее решение задачи. Если необходимо возводить неравенство в четную степень, то оно сохранит знак, если обе части неравенства неотрицательны. Например, $ 0\le a < b\Rightarrow a^2 < b^2$ или $ a < b \le 0 \Rightarrow a^2 > b^2 $ (в этом случае знак меняется на противоположный).