2.2.1. Установление теплового равновесия

Рассмотрим перенос теплоты при контакте двух тел, имеющих первоначально различную температуру T₁₀ и T₂₀; . Пусть массы тел равны соответственно m₁ и m₂; удельные теплоемкости c₁ и c₂, причем в исследуемом интервале температур теплоемкости допустимо считать постоянными. В результате переноса теплоты от нагретого к холодному телу их температуры выравниваются. Равновесную температуру нетрудно рассчитать из энтальпийного баланса. Изменение энтальпии первого тела составит ; изменение энтальпии второго тела . Предполагая отсутствие теплообмена с внешней средой, т.е. постоянство энтальпии системы в целом, из равенства найдем

.

Каким образом рассчитать изменение энтропии в рассматриваемом самопроизвольном процессе выравнивания температур двух тел? Для этого необходимо мысленно произвести равновесное охлаждение первого тела от T₁₀ до и равновесное нагревание второго тела от T₂₀ до , определить интегралы от приведенных теплот для этих двух процессов и, сложив их, найти суммарное изменение энтропии системы. Достаточно поучительно рассмотреть два варианта перехода от начального к конечному состоянию системы.

Первый вариант состоит в разъединении двух тел тонкой перегородкой, имеющей значительно более низкую теплопроводность по сравнению с теплопроводностью обоих тел. В таком случае скорость выравнивания температуры по объему каждого из тел будет значительно выше, чем скорость изменения перепада температуры на теплопередающей перегородке. Другими словами, при постепенном охлаждении первого тела и нагревании второго тела распределение температуры в каждом из тел будет сохраняться практически однородным (рис. 2.2), и с точки зрения изменения термодинамического состояния каждого тела процесс будет протекать квазиравновесно. Изменение энтропии в равновесном процессе охлаждения первого тела составит

,

где элементарная порция отводимой теплоты связана с изменением текущей температуры телаT₁ как . Отсюда

.

Аналогично изменение энтропии второго тела будет равно

.

Рис. 2.2. Профили температуры в начальный момент времени, в некоторый промежуточный момент времени и при установлении теплового равновесия в системе из двух тел, разделенных перегородкой, слабо проводящей теплоту, для случая .

Изменение энтропии системы в целом в пренебрежении изменением энтропии тонкой перегородки, имеющей бесконечно малую массу, составит

. (2.6)

Поскольку данная система не участвует в теплообмене с внешней средой, весь прирост энтропии связан здесь с необратимым переносом теплоты внутри системы,

.

Как нетрудно убедиться, выражение (2.6) удовлетворяет условию при .

Выражение (2.6) характеризует также производство энтропии и при непосредственном контакте тел (без разъединяющей их перегородки с низкой теплопроводностью), так как начальные и конечные состояния тел совпадают. Отличие двух систем состоит в том, что в системе без перегородки температурное поле неоднородно по объему каждого из тел, и соответственно производство энтропии распределено по всей системе, а в системе с перегородкой все производство энтропии связано с переносом теплоты через тонкую перегородку, т.е. как бы сосредоточенно на поверхности контакта тел.

Другой вариант перевода системы из начального в конечное состояние основан исключительно на равновесных операциях. Разъединим тела и мысленно поместим каждое из них в термостаты с регулируемым изменением температуры. В одном термостате охлаждаем первое тело от T₁₀ до , а в другом термостате нагреваем второе тело от T₂₀ до . Если скорость изменения температуры в термостате поддерживается значительно ниже скорости выравнивания температуры по объему тела, то теплообмен между термостатом и телом может считаться квазиравновесным. Изменения энтропии двух тел и будут при этом в точности совпадать с рассчитанными выше для системы со слабопроводящей перегородкой. Суммарное изменение энтропии будет выражаться соответственно формулой (2.6). Принципиальным отличием данного варианта является то, что все изменение энтропии связано здесь с обратимым внешним теплообменом; генерация энтропии отсутствует, .

Механизм возникновения энтропии наиболее ясен при дифференциальном анализе переноса теплоты между телами с разной температурой. В модели системы со слабопроводящей перегородкой каждой элементарной порции теплоты , переданной от первого тела второму, соответствует изменение энтропии первого тела и изменение энтропии второго тела , где T₁ и T₂ текущие значения температуры тел. Отсюда суммарное производство энтропии при переносе теплоты равно

. (2.7)